§３基底と次元

基礎数学としての線形代数学（制作中）

§3 基底と次元

§3.1 前置き

基底、次元という言葉は聞いたことがあるかもしれません。高校で習ったことにリンクする内容です。

３次元空間を3次元位置ベクトルの集合Aと考えてみましょう。x,y,z軸向き単位ベクトルはAの基底です。そしてAの次元は3です。

以下では基底と次元を定義し、上記の文の意味を改めて考えてみます。

§3.2 基底と次元

線形空間では、加法とスカラ―倍を定義しました。これらを組み合わせることで、我々は新たな元を作ることができます。

例えば、x_1,x_2∈Vで元x=a_1 x_1 + a_2 x_2∈Vを作ったとします。

このようにして∀x∈Vを表せ、その元ごとに係数a_1,a_2が一意に定まるとき、x_1,x_2を Vの基底と言い、基底の個数を次元と言います。このVの次元は２です。

以上が全てですが、一応の為数学的に定義してみます。

def：基底

x_1,...,x_nが以下を満たすとき、x_1,...,x_nをVの基底といいます。

∀x∈V,∃!(a_1,...,a_n)∈K^n,x=a_1 x_1 + ... + a_n x_n

def：次元

Vの基底の個数は、基底の選び方に依らず一定であり(今回は証明しません。）、その個数をVの次元といいます。

ex：3次元位置ベクトルの集合A

x,y,z方向の単位ベクトルi,j,kにより、任意の位置ベクトルrに対し実数x,y,zが一意に決まり、r=xi+yj+zkと書けます。

これにより、i,j,kはAの基底であり、Aの次元は3だと分かります。

 

このように、「基底を選ぶこと」は「座標系を選ぶこと」に対応します。

まとめ

今回は基底と次元について成るべく簡潔に考えてみました。これらがどのように役に立つのかは次回考えます。

大学初等数学の準備(制作中)

大学初等数学の準備（制作中）

Introduction

この記事は理系大学1年生を主に対象としています。他にも、数学の学習で詰まってしまっている方、今一度確認してみたい方なども対象となっています。

 

扱う内容は以下にまとめます。

・数学の文章を記号で書くための道具（論理演算子と量化記号）

・どの数学分野でも出てくる集合と写像の基礎

これらを選択した理由は、どの数学を学習するにしても役に立つという、著者の経験則に基づきます。また、他の記事を書いている際に、「これは補足が必要だな」と思われた要素でもあります。

 

いずれにせよ、役立て方は人それぞれだと思うので、有効活用していただけたら幸いです。

§1 数理論理学の基礎

数理論理学とは、命題を代数的に扱う学問です。

平易に表現するならば、

文章を記号で書いて、数式のように扱おう

という分野です。

 

情報系の学部はコンピュータ処理の基礎として学ばれる方がいらっしゃると思います。

ところが、情報系でなくとも、この分野の知識は有用です。なぜなら数学で扱う文章の多くは記号で書き表せられるからです。記号での表現に慣れると、曖昧に思えた文章の意味がはっきり分かったり、筆記数が減ることで頭がすっきりしたりします。

 

ここでは数理論理学を網羅する気はありませんが、そこで出てくる演算子や記号について紹介し、今後の数学学習に役立てていただくことを目指します。

§1.1 論理記号

def：命題

命題とは、その真偽を断定できる文章のことである。

def：論理記号

論理記号とは、命題を結合して新たな命題を作る演算子の記号である。

ex：論理記号で命題を書いてみる

A、Bは命題（命題変数）だとすると、

①AかつB ②AまたはB ③AならばB ④BならばA

もまた命題です。さらには、

⑤(AならばB)かつ(BならばA)

もまた命題です。

 

このように、接続詞「かつ」「または」「ならば」は命題を結合する演算子と言えます。

これらを記号で

かつ：∧    または：∨    ならば：→

と書くことにします。すると、上記の命題は以下のように簡単に書けます。

①A∧B ②A∨B ③A→B ④B→A ⑤(A→B)∧(B→A)　　

※⑤をA↔Bと書きます。

hint：真理値表

上で示した命題①～⑤は、A,Bの真偽によって真偽が決まるはずです。

逆に、論理記号の意味は、

「演算結果の真偽が命題変数A,Bの真偽に依ってどうなるか」で定義されます。

これをまとめた表が真理値表です。今回は深入りしませんが、調べたら出てくるので興味があれば検索してみてください。

§1.2 量化記号

直観的説明を心掛けてみます。

命題に自由変数xが含まれるときがあります。これをある条件下に束縛することを量化と言いうことにします。例を使って説明します。

 

例1： xはf(x)=0を満たす

この例を見ると、確かにxは自由変数であり、xが命題の真偽を決めます。

逆に、この命題の真偽を決めればこれはxの条件式になります。

 

例2： 全てのxについてf(x,y)＝０である

この命題は、「f(x,y)=0がxに関する恒等式である」の意です。

この例を見ると、xは自由変数ではなく、全てのxについてf(x,y)＝0であるという束縛を受けています。そして、この命題が真であると決めたとき、全てのxについてf(x,y)=0である為に、yの条件が決まります。

つまりこの命題の真偽を決めると、これはyの条件式だと言えるのです。

 

このように、命題A(x,y)があったとき、

「すべての xについて A(x,y) が真である」という文章はxを束縛し、xは量化されたというのです。そして、これはxではなくyの条件式です。

 

また、命題A(x,y)があったとき、

「 A(x,y) が真であるような x が存在する」という文章もまた、xを束縛しているといえます。そしてこれは、そのようなxが存在するような、yの条件なのです。

 

以下で定義する2つの記号を量化記号と呼びます。

def：全称記号

「全てのxについてA(x)が成り立つ」を「∀x,A(x) 」と書く。

この∀を全称記号と言う。

def：特称記号

「A(x)が成り立つようなxが存在する 」を「∃x,A(x)」と書く。

この∃を特称記号という。

 

補足ですが、「∃!」は「唯一存在する」の意味になります。

remark：量化記号の順序に注意

以下の文章の違いに注意してください。

A=∀x,∃y∈R,P(x,y)

B=∃y,∀x∈R,P(x,y)

 

Aは「任意の実数ｘに対してある実数ｙが存在しP(x,y)を満たす」

と読み、

Bは「ある実数yが存在し、任意の実数xに対してP(x,y)を満たす」

と読みます。

 

これらの違いを考えてみます。

Aはyがxに依存して決まりますが、

Bはどんなxに対してもP(x,y)が成り立つようなyが存在しているだけです。

ex：量化記号を使った条件式

実際に量化記号を使った文章を読んでみましょう。

∀ε,∃δ∈R^+, |x-a|＜δ →|f(x)−α|＜ε

 

これは、

 「任意の正実数εに対し、

　|x-a|がδよりも小さければ、

　 |f(x)-α| がεより小さくなるような

　正実数δが存在する。」

という、f(x)とαの条件です。

 

ざっくり説明すると、εを大きくとると、それに依存するδは存在しやすくなります。逆に、εを非常に小さくとっても、それに依存するδは存在しにくくなります。

その厳しい中でこれが満たされると、

f(x)はx→aのときαに収束する

と言うことにしているのです。

 

これをε-δ論法と言います。

§2 集合と写像

集合と写像の概念は、現代数学を学ぶ上で最も基礎的な概念であると考えます。

高校で習う関数とは、実数全体の集合から実数全体の集合への写像であると説明できます。これを理解するために、集合と写像の概念を考えます。

§2.1 集合

def：集合

集合とは何かの集まりであり、その何かを要素と言います。

ex：集合

集合の例を挙げてみます。

①N={1,2,3,4,5,...}

②Z={0,±1,±2,±3,±4,±5,...}

③R：実数全体の集合

④C：複素数全体の集合

⑤R×R：(∀実数、∀実数)の集合

§2.2 写像

def：写像

A,Bは集合とします。Aの元とBの元を対応づける規則fが以下を満たすとき、

fをAからBへの写像と言います。

∀a∈A,∃!b∈B,f(a)=b

これは、写像によりAの元に対応するBの元は必ず１つであるべきという要請です。

def：像

fにより対応するBの元で集合を作ります。

｛f(a)|a∈A｝

この集合をfによる像といい、記号Imfで表します。

def：単射

写像fが以下を満たすとき、fは単射であるといいます。

∀b∈Imf,∃!a∈A,b=f(a)

これは、像の元b１つに対応づけられるAの元は１つしか無いという条件です。この意味でfを１対１写像などとも言います。

def：全射

写像fが以下を満たすとき、fは全射であるといいます。

∀b∈B,∃a∈A,b=f(a)

これは、Bのどの元にもb=f(a)で対応づけられる元が存在するという条件です。像ImfがBに一致するという解釈も可能です。この比喩表現で、fをB上への写像とも言います。

def：全単射 

写像fが以下を満たすとき、fは全単射であるといいます。

∀b∈Imf,∃!a∈A,b=f(a)

∧

∀b∈B,∃a∈A,b=f(a)

つまり、fが単射かつ全射であるとき全単射というのです。

 

ところで、全射の条件はImf=Bとも言えると述べました。

これにより、全単射の条件は

∀b∈B,∃!a∈A,b=f(a)

ともかけるのです。

このとき、逆対応規則g : b=f(a)↦aを考えてみます。これは

∀b∈B,∃!a∈A,b=f(a)

より、

∀b∈B,∃!a∈A,g(b)=g(f(a))=a

であり、gは写像の条件を満たします。

この写像gをfの逆写像といい、記号f ^ {-1}で表します。

まとめ

本記事では、

・論理記号を用いて文章を記号化する方法

・集合と写像の基礎概念

についてお話ししました。

これらが分かれば、数学書の解読が幾らか楽になると思います。

§２線形空間

基礎数学としての線形代数学（制作中）

§２線形空間

今回は、代数系「線形空間」を厳密に定義します。

まず、定義に用いる代数系「体」について少しお話します。

§2.1代数系「体」について少し

体を定義しても良いのですが、線形空間の定義が今回の本題ですので割愛します。

代わりに、体とは直観的にはどういうものか考えてみます。

hint：体の直観的な説明

先回申した通り、集合Kが体（field）であるとは、

Kが四則演算で閉じている

と直観的には説明できます。

つまり、

∀a,b∈K, a+b∈K

∀a,b∈K, a-b∈K

∀a,b∈K, a×b∈K

∀a,b∈K, b≠0⇒a÷b∈K

prob：体かどうか考える

これらを、体であるものとそうでないもので分別せよ

N, Z, Q, R, C

(解説)

Nは足し算以外で閉じていせん。

Zは割り算で閉じていません。

Q,R,Cは四則演算で閉じています。

 

§2.2線形空間

線形空間を定義します。以下の定義の仕方は代数学でよく見ます。群、環、体なども実際は以下の如く定義するのです。

def：線形空間

V,Kを集合とし、Kは体だとする。

Vの内算法「加法：V×V→V」と、

Vの外算法「スカラ―倍：K×V→V」が、

以下の公理を満たすように定義できたとき、

代数系（V,加法,スカラ―倍）をK-線形空間という

＜和の公理＞

①∀x,y,z∈V, (x+y)+z =x+(y+z)

②∃y,∀x∈V, x + y = x    (このy を零元といい、記号0で書く。)

③∀x,y∈V, x+y = y+x

④∀x, ∃y ∈V, x + y = 0 (このyをxの逆元と言い。記号-xで書く。)

＜スカラ―倍の公理＞

⑤∀x∈V, 1x=x

⑥∀a,b∈K,∀x∈V, a(bx)=(ab)x

＜両方の公理（分配則）＞

⑦∀x,y∈V,∀a∈K, a(x+y)=ax+ay

⑧∀a,b∈K,∀x∈V, (a+b)x= ax+by

 

これら公理が重大である理由は、

・算法が写像であること

・一般に (a,b)≠(b,a)であること

が分かっていれば容易に受け入れられます。

ex：線形空間

線形空間を抽象的に定義しましたが、シンプルな具体例を沢山挙げてみます。

具体例が線形空間であることは証明しないので、皆さんがチェックしてみてください。

①（幾何ベクトル全体の集合、幾何ベクトルの足し算、幾何ベクトルの実数倍）

　これは高校で習う矢印のベクトルのことです。

②（実数ベクトル全体の集合、実数ベクトルの足し算、実数ベクトルの実数倍）

　これも高校で習う（a,b）や（a,b,c）などのベクトルのことです。

　括弧内の要素数は１つの集合につき１種類にしないと、算法は定義できません。

③（ R^n, 加法、実数倍）

　これは②のようなベクトルの要素数をｎ個にしたものと言えます。

　加法や実数倍は同様に定義できます。

④（実数全体の集合、普段の加法、実数倍）

　これはR線形空間（実線形空間）です。

　或いは③のn=1とも解釈できます。

⑤（複素数全体の集合、普段の加法、複素数倍）

　これはC線形空間（複素線形空間）です。

⑥（複素数全体の集合、普段の加法、実数倍）

　これはR線形空間（実線形空間）と言えます。

⑦（重力、重ね合わせ、実数倍）

　これが成り立つというのは、あくまでも「実験」によって保障されています。

⑧（電磁気力、重ね合わせ、実数倍）

　⑦と同様です。

⑨（人工衛星の位置情報、足し算、実数倍）

　これは、運動方程式が一次式になるということです。

 

以上の例から見ても、線形空間という概念は「ベクトルの代数系」を一般化したものということが分かります。

そのような意味で線形空間をベクトル空間とも呼び、

その元を広義の「ベクトル」と言うこともあります。（どうでもよいことです。）

 

兎に角、定義を満たしていればそれは「線形空間」ですから、線形代数学の研究成果を適用できるのです。

そして定義するのは「研究者自身」であり、それが線形代数学の応用なのです。

hint：書式について

高校ではベクトルの記号を、文字の上に→をつけて書いたと思います。

日本の大学では良く太文字が使われます。

海外の大学では→を乗せるタイプの方が多い印象です。

しかしながら、これらはあくまで記号に過ぎず、区別できればなんでも良いのです。

このページでは、線形空間の元という抽象概念であることを強調したいので、あえて普通の文字で書いてみます。

（ここにこだわりを持つ方を散見しますが、あまり気にするべきことではないと著者は考えます。）

まとめ

今回は、線形空間を定義し、その具体例を通して有用性を示唆してみました。

次回は、線形代数を有用たらしめる概念である、「基底」と「次元」の基礎についてお話します。これらがいかに有用であるかは、次々回に深く考察してみたいと思います。

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

§１線形代数学について

基礎数学としての線形代数学（制作中）

Introduction

線形代数学を学ぶ人に向けて、ある程度体系的に話を進めます。学習の助けにしてくださったら幸いです。

 

線形代数学は、科学全般に通ずる基礎数学の一つとよく言われます。

なぜなら、多くの自然現象は定量化すると「線形」なる性質を持つからです。

例：重力場、電磁場、人工衛星の運動表現、etc.

これら個々の「線形な物理現象」を一から調べるよりも、先に抽象的な数学として「線形な集合」を研究しておけば、いざ自然現象の研究をするとなったときに応用が利きます。

一言してしまえば、

多くの科学を理解するうえで線形代数学は重要である

ということです。

 

今回は、線形代数学が何を研究する分野なのかを具体的に考えてみます。

§１線形代数学について

§1.1代数学について

まずは「代数学」という言葉についてお話しします。

代数学（Algebra）とは、古来は「方程式論」をやっていた分野です。

例えば、代数方程式

 a _ n x ^ n + ... + a _ 1 x + a _ 0 = 0 ∧ a _ n ≠ 0

は、重解を許せばｎ個の複素数解を持ちます。これを代数学の基本定理と言いますが、この証明をしたりしました。

現代に近づくと、 数学は「集合論」へと傾いていきます。代数学の場合、「集合と算法のセット」の研究にシフトしていったそうです。(これらを研究することで、方程式論の諸問題を綺麗に扱うことができたりするとのこと。)

以下では、「集合と算法のセット」を定義します。

def：算法

S,T,Ωを集合とする。但しTはS×Sの部分集合

写像  ○：T → S 　をSの内算法（演算）という

 (T = S のとき、「Sはこの演算について閉じている」という)

写像 □：Ω × S → S　をSの外算法（作用）という

  (Ωを外算法□の作用域という)

 

 

注意として、これらの写像を以下のように略記する慣習があります。

○(a,b) = a ○ b , □(a,b) = a □ b

ex：算法

算法の例を挙げます。

①よくある加法や乗法は内算法です。

加法： (1, 2 ) ↦ 1 + 2

乗法： (1, 2 ) ↦ 1 × 2

②ベクトルのスカラ―倍は外算法です。

スカラ―倍： ( 2 , (1,2) )  ↦  2 (1,2) 

def：代数系

Sを集合、

○_ 1 ,○ _ 2 , ... , ○ _ n をSの内算法、□ _ 1 , □ _ 2 , ... , □ _m をSの外算法とする。 

( S , ○ _ 1 , ... , ○ _ n , □ _ 1 , ... , □ _ m ) を代数系という

 

 

代数系というのは、ある集合と、その集合で定義した算法のセットのことです。

注意として、例えば上記の代数系をAと名付けたとすると、「SはAとなる」「SはAである」などと慣用的に表現することがあります。

 

では、いくつかの例を挙げます。

ex : 名前のある代数系

詳しくやるとキリが無いので、いくつか紹介するにとどめます。

①群：足し算と引き算について閉じています。 （  0のみの集合  など ）

②環：足し算と引き算と掛け算について閉じています。（ Z など ）

③体：四則演算について閉じています（ R , C など ）

④線形空間：加法とスカラ―倍について閉じています。

etc.

§1.2　線形代数学とは

線形代数学（Linear Algebra）とは、代数系「線形空間」や「線形空間を成す集合間の写像」を研究する、代数学の一分野と言えます。

まとめ

今回は線形代数学の位置付けについてお話ししました。

次回は線形空間を定義し、様々な例を挙げます。