§３基底と次元 - 理系学生の為の資料アーカイブ

基底、次元という言葉は聞いたことがあるかもしれません。高校で習ったことにリンクする内容です。

３次元空間を3次元位置ベクトルの集合Aと考えてみましょう。 $x,y,z$ 軸向き単位ベクトルは $A$ の基底です。そしてAの次元は3です。

以下では基底と次元を定義し、上記の文の意味を改めて考えてみます。

線形空間では、加法とスカラ―倍を定義しました。これらを組み合わせることで、我々は新たな元を作ることができます。

例えば、 $x_1,x_2∈V$ で元 $x=a_1 x_1 + a_2 x_2∈V$ を作ったとします。

このようにして $∀x∈V$ を表せ、その元ごとに係数 $a_1,a_2$ が一意に定まるとき、 $x_1,x_2$ を $V$ の基底と言い、基底の個数を次元と言います。この $V$ の次元は２です。

以上が全てですが、一応の為数学的に定義してみます。

$x_1,...,x_n$ が以下を満たすとき、 $x_1,...,x_n$ を $V$ の基底といいます。

$∀x∈V,∃!(a_1,...,a_n)∈K^n,x=a_1 x_1 + ... + a_n x_n$

$V$ の基底の個数は、基底の選び方に依らず一定であり(今回は証明しません。）、その個数を $V$ の次元といいます。

$x,y,z$ 方向の単位ベクトル $i,j,k$ により、任意の位置ベクトル $r$ に対し実数 $x,y,z$ が一意に決まり、 $r=xi+yj+zk$ と書けます。

これにより、 $i,j,k$ はAの基底であり、Aの次元は3だと分かります。

このように、「基底を選ぶこと」は「座標系を選ぶこと」に対応します。

今回は基底と次元について成るべく簡潔に考えてみました。これらがどのように役に立つのかは次回考えます。