§１線形代数学について
Introduction
線形代数学を学ぶ人に向けて、ある程度体系的に話を進めます。学習の助けにしてくださったら幸いです。
線形代数学は、科学全般に通ずる基礎数学の一つとよく言われます。
なぜなら、多くの自然現象は定量化すると「線形」なる性質を持つからです。
これら個々の「線形な物理現象」を一から調べるよりも、先に抽象的な数学として「線形な集合」を研究しておけば、いざ自然現象の研究をするとなったときに応用が利きます。
一言してしまえば、
多くの科学を理解するうえで線形代数学は重要である
ということです。
今回は、線形代数学が何を研究する分野なのかを具体的に考えてみます。
§１線形代数学について
§1.1代数学について
まずは「代数学」という言葉についてお話しします。
代数学（Algebra）とは、古来は「方程式論」をやっていた分野です。
例えば、代数方程式
は、重解を許せばｎ個の複素数解を持ちます。これを代数学の基本定理と言いますが、この証明をしたりしました。
現代に近づくと、 数学は「集合論」へと傾いていきます。代数学の場合、「集合と算法のセット」の研究にシフトしていったそうです。(これらを研究することで、方程式論の諸問題を綺麗に扱うことができたりするとのこと。)
以下では、「集合と算法のセット」を定義します。
def：算法
注意として、これらの写像を以下のように略記する慣習があります。
ex：算法
算法の例を挙げます。
①よくある加法や乗法は内算法です。
加法：
乗法：
②ベクトルのスカラ―倍は外算法です。
スカラ―倍：
def：代数系
代数系というのは、ある集合と、その集合で定義した算法のセットのことです。
注意として、例えば上記の代数系をAと名付けたとすると、「SはAとなる」「SはAである」などと慣用的に表現することがあります。
では、いくつかの例を挙げます。
ex : 名前のある代数系
詳しくやるとキリが無いので、いくつか紹介するにとどめます。
①群：足し算と引き算について閉じています。
②環：足し算と引き算と掛け算について閉じています。
③体：四則演算について閉じています
④線形空間：加法とスカラ―倍について閉じています。
etc.
§1.2 線形代数学とは
線形代数学（Linear Algebra）とは、代数系「線形空間」や「線形空間を成す集合間の写像」を研究する、代数学の一分野と言えます。
まとめ
今回は線形代数学の位置付けについてお話ししました。
次回は線形空間を定義し、様々な例を挙げます。
