§２線形空間
§２線形空間
まず、定義に用いる代数系「体」について少しお話します。
§2.1代数系「体」について少し
体を定義しても良いのですが、線形空間の定義が今回の本題ですので割愛します。
代わりに、体とは直観的にはどういうものか考えてみます。
hint：体の直観的な説明
先回申した通り、集合Kが体（field）であるとは、
Kが四則演算で閉じている
と直観的には説明できます。
つまり、
prob：体かどうか考える
これらを、体であるものとそうでないもので分別せよ
(解説)
は足し算以外で閉じていせん。
は割り算で閉じていません。
は四則演算で閉じています。
§2.2線形空間
線形空間を定義します。以下の定義の仕方は代数学でよく見ます。群、環、体なども実際は以下の如く定義するのです。
def：線形空間
これら公理が重大である理由は、
・算法が写像であること
・一般にであること
が分かっていれば容易に受け入れられます。
ex：線形空間
線形空間を抽象的に定義しましたが、シンプルな具体例を沢山挙げてみます。
具体例が線形空間であることは証明しないので、皆さんがチェックしてみてください。
①（幾何ベクトル全体の集合、幾何ベクトルの足し算、幾何ベクトルの実数倍）
これは高校で習う矢印のベクトルのことです。
②（実数ベクトル全体の集合、実数ベクトルの足し算、実数ベクトルの実数倍）
これも高校で習う（a,b）や（a,b,c）などのベクトルのことです。
括弧内の要素数は１つの集合につき１種類にしないと、算法は定義できません。
③（, 加法、実数倍）
これは②のようなベクトルの要素数をｎ個にしたものと言えます。
加法や実数倍は同様に定義できます。
④（実数全体の集合、普段の加法、実数倍）
或いは③のn=1とも解釈できます。
⑥（複素数全体の集合、普段の加法、実数倍）
⑦（重力、重ね合わせ、実数倍）
これが成り立つというのは、あくまでも「実験」によって保障されています。
⑧（電磁気力、重ね合わせ、実数倍）
⑦と同様です。
⑨（人工衛星の位置情報、足し算、実数倍）
これは、運動方程式が一次式になるということです。
以上の例から見ても、線形空間という概念は「ベクトルの代数系」を一般化したものということが分かります。
そのような意味で線形空間をベクトル空間とも呼び、
その元を広義の「ベクトル」と言うこともあります。（どうでもよいことです。）
兎に角、定義を満たしていればそれは「線形空間」ですから、線形代数学の研究成果を適用できるのです。
そして定義するのは「研究者自身」であり、それが線形代数学の応用なのです。
hint：書式について
高校ではベクトルの記号を、文字の上に→をつけて書いたと思います。
日本の大学では良く太文字が使われます。
海外の大学では→を乗せるタイプの方が多い印象です。
しかしながら、これらはあくまで記号に過ぎず、区別できればなんでも良いのです。
このページでは、線形空間の元という抽象概念であることを強調したいので、あえて普通の文字で書いてみます。
（ここにこだわりを持つ方を散見しますが、あまり気にするべきことではないと著者は考えます。）
まとめ
今回は、線形空間を定義し、その具体例を通して有用性を示唆してみました。
次回は、線形代数を有用たらしめる概念である、「基底」と「次元」の基礎についてお話します。これらがいかに有用であるかは、次々回に深く考察してみたいと思います。
